\( f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} {{e^x-1}\over {3x}} & \textrm{dla } x<0\\ A & \textrm{dla } x=0\\ {\ln (x+1)}\over {x} & \textrm{dla } x>0\\ \end{array} \right. \)
była nieciągła.

Rozwiązanie
Dziedziną funkcji \( f \) jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Żeby funkcja była nieciągła wystarczy, by była nieciągła w przynajmniej jednym punkcie. Weźmy pod uwagę punkt \( x_0=0 \) . Nie istnieje granica funkcji w tym punkcie, gdyż granice jednostronne są różne.
\( \lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{e^x-1}{3x}=\lim\limits_{x\to 0^-}{1\over 3}\cdot {e^x-1\over x}={1\over 3} \).
\( \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}{{\ln(x+1)}\over x}=1 \).
Nie jest spełniony pierwszy warunek definicyjny ciągłości, więc niezależnie od doboru stałej \( A \) (wartości funkcji w zerze), funkcja \( f \) nie jest ciągła w \( x_0=0 \) , zatem \( f \) nie jest funkcją ciągłą.
(Zauważmy, że obliczając granice jednostronne skorzystaliśmy z istnienia dwóch granic podstawowych (wyrażeń nieoznaczonych) \( \lim\limits_{x\to 0}{{e^x-1}\over x}=1 \) oraz \( \lim\limits_{x\to 0}{{\ln(x+1)}\over x}=1 \). Z istnienia tych granic wynika istnienie odpowiednich granic jednostronnych.)
Odpowiedź

\( f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} {{e^x-1}\over {3x}} & \textrm{dla } x<0\\ A & \textrm{dla } x=0\\ {\ln (x+1)}\over {x} & \textrm{dla } x>0\\ \end{array} \right. \)
była nieciągła w \( x_0=0 \) i jednocześnie lewostronnie ciągła w \( x_0 \),

Rozwiązanie
Aby funkcja była lewostronnie ciągła w \( x_0=0 \) wartość funkcji w zerze musi być równa lewostronnej granicy tej funkcji w zerze. Mamy:
\( f(0)=A,\quad \lim\limits_{x\to 0^-}f(x)={1\over 3} \)
czyli musimy przyjąć \( f(0)={1\over 3} \), skąd \( A={1\over 3} \).
Odpowiedź

\( f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} {{e^x-1}\over {3x}} & \textrm{dla } x<0\\ A & \textrm{dla } x=0\\ {\ln (x+1)}\over {x} & \textrm{dla } x>0\\ \end{array} \right. \)
była nieciągła w \( x_0=0 \) i jednocześnie prawostronnie ciągła w \( x_0 \).

Rozwiązanie
Podobnie jak w poprzednim przypadku, aby funkcja była prawostronnie ciągła w \( x_0=0 \), musi zachodzić równość
\( f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x) \),
czyli
\( A=1 \).
Odpowiedź
Dla \( A=1 \) funkcja \( f \) nieciągła w zerze jest w tym punkcie funkcją prawostronnie ciągłą.